Dalam analisis regresi digunakan istilah Regressand yang berarti variabel tergantung (dependent variable) dan Regressors yang berarti variabel bebas (Independent variables) atau variabel penjelas (Explanation variables).
Contoh :
Tingkat konsumsi (C) merupakan fungsi penghasilan siap pakai (disposible income=Y) dalam bentuk C=f(Y)=α + ��1�� + ��2��2. Dari fungsi konsumsi ini, C adalah regressand dan Y adalah regressor. Terlihat ada dua regressor yaitu Y (Pendapatan disposible) dan ��2 (kuadrat dari Y)
1. Model-model : Double Log, Log-Linear, atau Constant-elasticity.
Perhatikan model berikut : ����=��������−��������
Atau dapat ditulis menjadi : ��������=��������−����������+����
Dimana ���� = Logaritma natural yaitu log dengan basis e ; e=2,718. Fungsi ini merupakan fungsi linear dalam log, karena variabel in Y adalah fungsi linier variabel in X. Istilah matematisnya adalah model “log-log” atau model “log-linier”.
Jika semua asumsi model regresi linier klasik dipenuhi, maka parameter-parameter dari model tersebut dapat ditaksir dengan model OLS(Ordinary Least Square).
Dari model log-log ini, koefisien lereng (slope coefficient), �� merupakan elastisitas Y terhadap X. Jadi, jika Y menunjukkan jumlah barang yang diminta dan X adalah harga, maka β merupakan elastisitas harga permintaan akan barang. Secara grafis model ini dapat dilihat pada gambar 6.1 : (a) dan (b)
Gambar 6.1
Model Log Linier memiliki 2 sifat khusus yaitu :
a. Model ini mengasumsikan bahwa koefisien elastisitas antara Y dan X (yaitu β) adalah konstan. Model ini disebut “Model elastisitas konstan”
b. Walaupun �� dan �� merupakan penaksir-penaksir yang tidak bias terhadap α dan β, namun “antilog” nya (yaitu �� 0) merupakan penaksir yang bias. Meskipun demikian, �� 0 merupakan penaksir yang konsisten bagi ��0. Biasanya analisis ekonomi di fokuskan pada slope, yakni β, sehingga tidak perlu dirisaukan meskipun ��0 merupakan penaksir yang bias.
2. Model-Model Semilog
Dua bentuk model berikut ini disebut model semilog, yaitu ��������=��0+��1����+���� ,������ ����=��0+��1��������+����
Pada model yang pertama terlihat bahwa slope (��1) mengukur perubahan proporsional Y sebagai akibat perubahan absolut X, yaitu :
��1=�������� �������� = 1���� ������������ = ���������� 1������ =���� ��
Oleh karena itu :
��1=������������ℎ���� ������������������������ ��������������ℎ���� �������������� ��
Y
����=��0����−��
X
(a) Harga
������=������0−����������
������
(b) Harga
Y Y
Gambar 6.2 Bentuk Semilogaritma
Model diatas menunjukkan bahwa perubahan jumlah X secara absolut mengakibatkan Y berubah secara proporsional atau secara persentase yang konstan. Oleh karena itu, model semacam ini disebut “Model Pertumbuhan Konstan”
Pada model yang kedua : ����=��0+��1��������+����
Koefisien ��1, mengukur perubahan absolut nilai rerata Y sebagai akibat perubahan X dengan ������������=��1(1����) ��1=Δ��Δ���� ��1=������������ℎ���� �������������� ��������������ℎ���� ������������������������ ��
Model semacam ini sesuai untuk menganalisis pengaruh perubahan X dalam prosentase tertentu terhadap perubahan Y secara absolut.
3. Model – Model Hiperbola atau Model Transformasi terbalik
Model berikut ini merupakan model “transformasi terbalik” :
����=��+�� 1���� +����
Model semacam ini mempunyai nilai asimptotik atau nilai limit sebesar α dimana nilai variabel terikat ditentukan oleh nilai X.
0 (a)
0 (b)
X
X
log��=��+����
log��=��−����
log��=��−��log��
log��=��+βlog��
Gambar 6.3 Bentuk Hiperbola
Bentuk lain dari model hiperbola adalah model log-hiperbola seperti berikut ini : ��������=��−�� 1���� +����
Atau : ����=����−������ ����
Gambar 6.4 melukiskan bentuk fungsi diatas. Turunan pertama fungsi ini adalah : ��������=����−������ (����2)
Dengan demikian, lereng(slope) nya adalah positif untuk X yang positif.Dari turunan kedua diperoleh titik balik pada X=β/2 ��2������2=����−������ (��2��4−2����3)
Disebelah kiri titik ini slope nya meningkat dengan bertambahnya X ; sedangkan di sebelah kanan titik ini slope nya menurun. Nilai asimptotiknya adalah ����, sehingga dengan bertambahnya X mendekati tidak terhingga, maka Y akan mendekati ����
��
X
0 β/α
��=��+����
��=��−����
α
Gambar 6.4 Bentuk Log-Hiperbola
0
X
��2
log��=��−����
����
��
Tabel 6.1
Bentuk-Bentuk Model
Nama
Fungsi
Hubungan
Aljabar
Lereng
(Slope)
Koefisien
Elastisitas
Linier
Y=α+βX
Y=α−βX
(+) β
(-) β
(+) β XY
(-) β(XY)
Kuadratik
Y=α+β1X−β1X2
Y=α−β1X−β1X2
(+) β1−2β2X)
(-) β1−2β2X)
(+) (β1−2β2XY)
(-) β1−2β2XY
Hiperbola
Y=α+βX
Y=α−βX
(-) ����2
(+) ����2
(-) ��(1����)
(+) ��(1����)
Semilog
����������=��+����
Atau : ��=����+���� ����������=��−����
Atau : ��=����−����
��=��+������������
Atau : ����=��+����
��=��−������������
Atau : ����=��+��−��
(+) βY
(-) βY
(+) ����
(-) ����
(+) β (X)
(-) β (X)
(+) ��(1��)
(-) ��(1��)
Log-Kuadrat
����������=��+��1��−��1��2
����������=��−��1��+��1��2
(+) ��(��1−2��2��)
(-) ��(��1−2��2��)
(+) β1−2β2X X
(-) β1−2β2X X
Log-Hiperbola
(Log-Inverse)
����������=��+����
Atau : ��=
(-) ������2
(-) ��(1��)
����+(����)
����������=��−����
Atau : ��=����−(����)
(+) ������2
(+) ��(1��)
Double-Logaritma
����������=��+������������
Atau : ��=������
����������=��−������������
Atau : ��=����−��
(+) βYX
(-) βYX
(+) β
(-) β
6.2 Pemilihan Bentuk Fungsi
Dalam memilih bentuk fungsi yang cocok diperlukan kombinasi beberapa kriteria yang ada dalam teori ekonomi. Seperti goodness of fit, dan kesederhanaan.
Beberapa kriteria umum bentuk fungsi :
1. Kriteria pertama dan terpenting adalah dalam memilih bentuk fungsi harus memakai basis teori ekonomi.
2. Bila terdapat dua bentuk fungsional yang cocok dan bisa menjelaskan suatu masalah dengan sama baiknya, maka lebih baik memilih dengan bentuk yang lebih sederhana.
3. Bentuk fungsi harus mencakup(fit) data yang sebaik-baiknya. Kriteria ketiga ini disebut kriteria goodness of fit yang didasarkan pada pada nilai ��2. Semakin besar ��2,maka semakin banyak proporsi variasi variabel terikat yang bisa dijelaskan oleh variasi variabel-variabel bebasnya.
Secara umum, uji signifikansi secara statistik terhadap koefisien-koefisien regresi seharusnya dikaitkan dengan nilai ��2.
6.3 Pengujian Linieritas
Ada tiga cara uji linearitas suatu model yang disarankan untuk diikuti,yaitu :
1. Pengujian yang paling sederhana adalah menguji hipotesis linier dengan hipotesis alternatif yang mengasumsikan suatu fungsi pangkat derajat tertentu.
Contoh : Ada dua pilihan bentuk fungsi yaitu :
Linier : ���� =��+��1����+����
Kubik : ����=��+��1����+��2����2+��3����3+����
Bila ingin menguji hipotesis adalah sebagai berikut : ��0:��2=��3=0,���������� �������������������� ����������ℎ ������������ ����:��0 ��������ℎ
Perumusan ��0 kasus diatas, didasarkan pada kenyataan bahwa fungsi linier tidak lain adalah bentuk khusus dari fungsi pangkat, yaitu fungsi pangkat berderajat satu. Jika koefisien dari variabel-variabel bebas yang pangkatnya lebih besar dari satu, misalnya ��2 ������ ��3, seluruhnya sama dengan nol, maka fungsi pangkat tersebut sesungguhnya fungsi linier.
Untuk menguji hipotesis nol :��2=��3=0,�������������������� ������ℎ�������������� ������������������−��:
��=(��������−��������)/(��−��)��������/(��−��)
Dimana :
��������=Jumlah kuadrat yang dapat dijelaskan
��������=bentuk persamaan linier yang sesuai dengan data
��������= Jumlah kuadrat dari faktor residu pada bentuk persamaan pangkat tiga
N = 2 karena ada 2 parameter dalam fungsi linier
Q = 4 karena ada 4 parameter dalam fungsi pangkat 3
Statistik F dapat juga didefinisikan dalam ���� :
��= ��������−���������������� (��−����−��)
��=(��������/������)−(��������/������)1− �������������� (��−����−��)
��= ����2−����21−����2 (��−����−��)
6.4 Waktu sebagai Pendeteksi Kecenderungan (Trend Variable)
Seringkali taksiran OLS menunjukkan pada hubungan antara variable terikat dan variable bebas suatu model regresi , sekalipun sesungghunya hubungan itu tidak ada. Hubungan lancing ini terjadi bila variable-variabel itu berubah dengan arah yang sama selama suatu peride waktu tertentu. Hubungan lancong tidak mencerminkan pengaruh suatu variable terhadap perubahan variable lainnya. Masalah ini diatasi dengan memasukkan “variable waktu” atau “variable trend” sebagai tambahan bagi variable penjelas.
Variabel waktu dimasukkan ke dalam model berdasarkan alasan-alasan berikut :
1. Variabel Trend (variable waktu) merupakan pengganti bagi variable dasar yang tidak dapat diamati secara langsung namun didasari mempunyai pengaruh terhadap variable terikat. Contoh, variable dasar adalah variable teknologi dalam teori produksi, tetapi teknologi itu tidak dapat diamati secara langsung.maka solusinya dengan suatu fungsi dari waktu yang diukur secara kronologis. Dalam situasi tetentu, variable dasar tersebut berkaitan sekali dengan waktu, sehingga variable dasar bias diwakili oleh variable waktu.
2. Variavel terikat bertujuan untuk memperoleh gambaran mengenai pola data sepanjang kurun waktu tertentu.
Bentuk-bentuk Fungai Alternatif yang Digunakan dalam Persamaan Trend
a. Persamaan Trend linier Yt = α + βt + ��1
Dalam bentuk ini , β adalah suatu konstanta yang menunjukkan perubahan absolute dalam Y persatuan waktu. Dalam kasus normal , yaitu β positif berarti pertambahan t memperlambat tingkat pertumbunhan akumulatif dari variabel terikat Y.
b. Persamaan trend eksponensial :
Contoh : ���� = α + β������
���� = α + β��−����
���� = α + β (1−��−����)
Dalam hal ini , α, β dan π adalah konstanta-konstanta positif persamaan trend diatas. Secara grafis dapat dilihat pada Gambar 6.5
Gambar 6.5
c. Persamaan trend Logistik
���� = ��1+����−����
Persamaan ini berbentuk “S” , seperti pada gambar 6.6. persamaan ini dipakai dalam studi pertumbuhan penduduk. Hal yang menonjol dari bentuk ini adalah tingkat pertumbuhan dimulai dari suatu tingkat yang rendah, mencapaimax , dan kemudian menurun sedemikan rupa sehingga tingkat pertumbuhannya mendekati suatu nilai max (limit) atau nilai asimpotik = α
Gambar 6.6
6.5. penaksiran model model regresi ni linear
6.5.1. model linear intrinsik
Sifat umum yang mendasar dari model ini adalah bentukny dapat diubah menjadi model linear dengan mentransformasikan variabel variabelnya.
Berikut ini akan dibahas bentuk bentuk model linear intrinsik:
(a) Transformasi dari model polinomial
Jika suatu fungsi adalah polinomial dalam variabel variabel bebasnya , maka model regresinya adalah:
Yi = ����+ ��1 ����+��2 ��1��+��3��2��…+����
y = α + β(1−��−����)
y = α + β��−����
Y
t
y = α + β��−����
y
α
��1+��
(b) Transformasi dari model elastisitas konstan
Model berbentuk “double-log” dengan asumsi elastisitas konstan merupakan model yang sangat umum ditemukan dalam studi ekonometrika.
Hubungan nir linear : ��= ∝ ��1��1 ��2��2 bisa ditulis menjadi:
log��=������∝ + ��1log��1+ ��2 log��2
persamaan ini digolongkan dalam model nir-linear intrinsik . pada subbab ini hanya difokuskan pada model model linier intrinsik , yaitu model dengan bentuk multiplikatif:
Yi = ∝ ��1��1 ��2��2 ����
6.5.2. model nir-linier intrinsik
(a) model elastisitas konstan aditif
Model yang termasuk dalam kategori ini adalah
Yi = ∝ ��1��1 ��2��2+����
(b) Fungsi produksi CES (Constant Elasticity of Substitution)
Bentuk fungsi produksi CES adalah sebagai berikut:
Qi = A [∝����−��+ 1−∝ ����−��]−��/�� ������
Dimana : Qi = output , Ki= input kapital , Li = input tenaga kerja, parameter-parameter A,∝,��, dan �� masing masing adalah parameter parameter “efisiensi”,”distribusi”,”return to scale”,dan “substitusi”,sedangkan e=2,71828.
Dengan menarik logaritma basis dari e pada kedua sisi dari fungsi CES diatas maka diperoleh:
Log Qi = log A −���� log[∝����−��+ (1−��)����−��]+����
6.5.3. Aplikasi: Penaksiran Model Model Elastisitas Konstan
Contoh 1:
Table 6.2 menunjukkan total investasi bersih (I),dalam miliyar rupiah dan tingkat bunga (i) dalam persen . Fungsi total investasi bersih untuk seluruh perekonomian diasumsikan berbentuk: I= f(i) =α(��)��.
6.6 Metode Alternatif untuk menaksir Fungsi Produksi Cobb-Douglas
Paling sedikit, ada lima metode untuk menaksir parameter-parameter fungsi produksi Cobb-Douglas (C-D), sesuai alternatif asumsi dan masalah ekonometri.
1. Metode Pertama, Menaksir fungsi produksi dalam bentuk log-linier. Metode ini berkaitan dengan “Returns to scale”. Masalah – Masalah yang biasa muncul dalam metode ini : Penyimpangan simultan, multikolinieritas, dan heteroskesdastisitas.
2. Metode Kedua, Menaksir fungsi produksi melalui “persamaan yang menunjukkan Intensitas Penggunaan Input”
3. Metode ketiga, berdasarkan pangsa(share) penghasilan tenaga kerja dalam output total, dengan mengasumsikan constant returns to scale, bersama asumsi persaingan sempurna dan maksimisasi keuntungan.
4. Metode keempat, Berdasarkan pada asumsi klasik.Metode ini memanfaatkan persamaan – persamaan produktivitas marginal dan dari metode ketiga diatas.
5. Metode kelima, Fungsi C-D ditransformasikan menjadi model persamaan simultan untuk menaksir koefisien-koefisien elastisitasnya.
ANALISIS
REGRESI SEDERHANA
5.1 Hubungan Stokastik dan
Nir-stokastik
Hubungan antara X dab Y yang
terbentuk y=f(x) dikatakan ‘deterministik” (pasti) atau ‘nir-stokastik , jika
suatu nilai variabel bebas (X) terdapat suatu nilai variabel terikat (Y) .
Suatu hubungan antara X dan Y dikatakan ‘sytokastik’ jika suatu nilai X
tertentu terdapat distribusi probalitas meneyluruh dari nilai Y. Dengan demikian,
dalam kasus stokastik ini, setiap nilai X tertentu variabel terikat y dapat
memilki beberapa nilai dengan probalitas yang tertentu .
Contoh
: permintaan akan sutau barang tertentu, diasumsikan tergantung pada harga
barang itu saja (faktor penentu lainnya dianggapo kosntan , atau cateris
paribus ) dan bentuk funsginya adalah linier
Q = f(p) = α +βp
Dengan
data p dan q tertentu misalnya diperoleh α = 25 dan β=-2 sehingga persamaaan
permintaan itu menjadi .
Q = 25 – 2p
Hubungan
antara p dan q di atas menunjukkan setiapp nilai p tertentu , misalnya 2 satuan
hanya ada satu nilai q , yaitu = 21 satuan . jika harga p adalah 5 satuan, maka jumlah barang yang diminta
menjadi 15 satuan dan seterusnya .
Hubungan diatas disebut hubungan
‘deterministrik’ , karena setiap harga barang hanya ada satu jumlah barang yang diminta atau dijual.
Q = 25 -2p + U
Hubungan
q = 25 -2p =U adalah hubungan stokastik karena terdapat variabel gangguan (U).
Dalam hubungan stokastik , nilai variabel bebas (p) yang berebda-beda menimbulkan
distribusi probalitas p=1 diperoleh distribusi probalitas I dari nilai-nilai q
dengan rerta= 24 dan varian= 0,5. Jikan p = 2, diperoleh distribusi
probabilitas bariabel terikat berbeda menurut reratanya, tetatapi buikan
variannya.
5.2 Model Regresi Linier Sederhana
Hubungan atau persamaan dalam teori ekonomi biasanya
mempunyai spesifikasi hubunga yang pasti
atau hubungan deterministik diantara variabel-variabel. Mengingat bahwa
hubungan yang pasti tidak pernah ada dalam ekonomi maka faktor-faktor stokastik
harus ada dalam hubungan ekonomi. Dengan semakin banyaknya tuntutan akan
perlunya menguji teori-teori ekonomi, variabel stokastik juga perlu diuji
keberadaannya didalam hubungan ekonomi.
Bentuk paling sederhana dari hubungan stokastik
antara dua variabel X dan Y disebut “model regresi linier”
Yi = α + βXi + Ui (i= 1 , … , n)
Y disebut variabel terikat , X adalah variabel bebas
atau variabel penjelas , U adalah variabel gangguan stokastik , α, β adalah
parameter – parameter regresi . Subskrip I menunjukkan pengamatan yang ke-i.
Parameter α dan β ditaksir atas dasar data yang tersedia untuk variabel x dan
y.
Alasan
penyisipan faktor U tersebut :
1.
Karenakesalahandalampersamaan
2.
Karenakesalahandalampengukuran
3.
Karenaketidaksempurnaanspesifikasibentukmatematis
model
4.
Karena
agregasi
Untuk
sebuah model regresi linier sederhana , spesifikasi ini dikelompokkan menjadi
lisa asumsi dasar , biasanya dikenal sebagai “asumsi-asumsi model regresi
linier”
1.
Asumsi1
.Uiadalahsebuahvariabel random riildanmemilkidistribusi normal
2.
Asumsi
2 nilaireratadariUisetiapperiodetertentuadalahnol
E[Ui] = 0 (i=1,
…. n)
3.
Asumsi
3 variandariUiadalahkonstansetiapperiode
E[Ui2] = 
2 2 adalah konstan
2 2 adalah konstan
4.
Asumsi
4 faktordarigangguanpengamatan yang berebda-beda (Ui , Uj) tidaktergantung
E[Ui,Uj]=0 (i≠J)
Asumsiinidikenalsebagaiasumsi
‘nir-otokorelasi’
5.
Variabel-variabelpenjelas/bebasadalahvariabelnir-stokastikdandiukurtanpakesalahn
;Uitidaktergantungpadavariabelpenjelas/bebas.
E[Xi,Uj]= Xi E[Uj] = 0 untukseluruhI,j =1 ,….,n.
5.3
PenaksiranParameter-parameter Regresi
Yang dimaksudkan penaksiran α dan β dengan metode
kusrat terkecil atau kuadrat terkecil klasik adalah menemukan nilai-nilai
taksiran α dan β yang meminumkan jumlah kuadrat residu : Σie2
Dari garis regresi sampel Y= α + βXi + ei ;
diperolah :
ei = Yi
(α + βXi)
dan
Nilai-nilai α dan β yang
bmeminumkan jumlah kuadrat, diperoleh dengan menurunkan secara parsial fungsi
kuadrat residual 
dan menyamakan turunan ini dengan nol .
dan menyamakan turunan ini dengan nol .
Maka :
β= 
(a). Linear (Linearity)
(dari 5.5)
Atau :
karena
Sehingga :
Anggaplah bahwa :
(i=1,---,n)
Maka :
(dari
5.6)
Begitu juga dengan (5.3) yang memberikan :
Sehingga :
(dari 5.7)
Jadi baik 
merupakan fungsi linier dari Y.
merupakan fungsi linier dari Y.
(b). Unbiasedness
(dari 5.6)
=∑ki(α+βXi+Ui)
=α∑ki+β∑kiXi+∑kiUi (5.8)
(5.9) 
(5.10)
(5.11)
(c). Varian Minimum
dari dan
Sekarang harus dibuktikan dan memiliki varian
sampel terkecil dibandingkan denganbpenaksir-penaksir linier tidak bias
lainnya.
Maka
(5.12)
(5.13)
Untuk membuktikan bahwa memiliki varian minimum , perlu
dibandingkan varian dengan varian
beberapa penaksir β ( katakan lah ) yang tidak bias.
Misalkan : 
dimana
konstanta Wi ≠ Ki , tetapi Wi=Ki+ Ci
dimana
konstanta Wi ≠ Ki , tetapi Wi=Ki+ Ci
Sehingga :
=
∑wi(α+βXi+Ui)
= α∑wi+β∑wiXi+∑wiUi (5.14)
Karena diasumsikan penaksir yang
tidak bias, berarti pada persamaan diatas cwi=0 dan ∑wiXi=1
diasumsikan penaksir yang
tidak bias, berarti pada persamaan diatas cwi=0 dan ∑wiXi=1
Jadi telah ditunjukkan ,
jika merupakan penaksir yang tidak bias, hasil
hasil berikut berlaku:
merupakan penaksir yang tidak bias, hasil
hasil berikut berlaku:
∑wi=0, ∑wiXi=1, ∑ci=0,
∑ciXi=0 (5.15)
Varian dari yang diasumsikan menjadi:
yang diasumsikan menjadi:
(5.14)
Sedangkan:
Pentingnya
Sifat BLU :
(a).
Linier.Sifat ini dibutuhkan untuk memudahkan perhitungan dalam penaksiran .
(b).
Unbiasedness : Secara sendirian sifat ini tidak berguna. Satu-satunya jaminan
dari sifat ini adalah bila jumlah sampel sangat besar, penaksir parameter diperoleh
dari sampel besar kira-kira lenih mendekati nilai parameter sebenarnya .
(c).
Best : Sifat varian terkecil secara sendirian tidak dibutuhkan, karena suatu
taksiran memiliki varian nol , namun memiliki penyimpangan yang besar. Sifat
varian minimum yang dibutuhkan , bila dikombinasikan dengan sifat tidak bias .
Pentingnya sifat ini kelohatan bila di terapkan dalam uji signifikansi baku (
standar ) terhadap α dan β, serta membuat interval keyakinan taksiran-taksiran.
Penaksir linier kuadrat terkecil yang memenuhi
persyaratan seluruh asumsi klasik dinamakan penaksir yang BLUE (Best Linier
Unbiased Estimator). Kesimpulan ini merupakan teorema Gauss – Markov.
5.5 Penaksir Maksimum Likelihood
Ada dua hal penting yang diaamati
dari hasil penurunan (derivasi) sub bab 5.3 dan 5.4 yaitu :
a.
Untuk
membuktikan sifat BLU penaksir kuadrat terkecil, tidak asumsi klasik
dipergunakan. Misalnya, untuk membuktikan sifat linierritas diperlukan asusmsi
kovarian antara faktor gangguan dan variabel bebas E[XiUj]=0
b.
Untuk
membuktikan sifat-sifat BLU tidak perlu dibuat asumsi bentuk spesifik dari
distribusi faktor-faktor gangguan. Kenyataannya asumsi normalitas dari U tidak
diperlukan untuk membuktikan 
dan 
sebagai BLUE.
dan sebagai BLUE.
5.6 Distribusi Sampel Penaksir
Kuadrat Terkecil
Oleh karena penaksir-penaksir kuadrat terkecil
merupakan kombinasi linier variabel-variabel normal Y1, Y2, Y3, …. Yn tidak
saling tergantung maka dan makan dan juga berdistribusi normal, dengan
sifat-sifat sebagai berikut :
dan makan dan juga berdistribusi normal, dengan
sifat-sifat sebagai berikut :
i.
dan 
adalah penaksir-penaksir yang tidak bias, yaitu rerata
masing-masing sama dengan nilai α dan β yang sebenarnya.
dan adalah penaksir-penaksir yang tidak bias, yaitu rerata
masing-masing sama dengan nilai α dan β yang sebenarnya.
ii.
Varian
dari setiap penaksir diketahui
5.7
Interval Keyakinan dan Uji Hipotesis
Penyusutan interval keyakinan
penting untuk memperoleh ketepatan dan 
Untuk
itu , semua informasi yang berhubungan dengan distribusi dan sudah
dibahas dalam hal ini :
dan Untuk
itu , semua informasi yang berhubungan dengan distribusi dan sudah
dibahas dalam hal ini :
dan 
Dalam
kasus 
maka:
maka:
, 
Sehingga:
,
(5.23)
Dengan
cara yang sama , pengujian atas β dilakukan sebagai berikut:
,dan
(5.24)
5.8
Goodness of Fit
Disini
akan dibahas tentang garis regresi sebagai suatu keseluruhan dan diuji
kebenaran letak taksirannya (goodness of fit). Dalam hal ini pertama , 
mengukur proporsi variasi variable terikat
yang dijelaskan oleh variable-variabel bebasnya. Kedua,nilai tergantung jumlah kuadrat factor residu.
mengukur proporsi variasi variable terikat
yang dijelaskan oleh variable-variabel bebasnya. Kedua,nilai tergantung jumlah kuadrat factor residu.
5.9
Pelaporan Hasil-hasil Analisi Regresi
Hasil-hasil
analisis regresi dapat dilaporkan dalam bentuk (format) yang konvensional.
Dalam praktek, koefesien-koefisien regresi bersama-sama dengan kesalahan
standart nilai harus dilaporkan. Beberapa pakar ekonometrika
sering menyertakan t-ratio dari koofisien taksiran sebagai pengganti kesalahan
standart.
harus dilaporkan. Beberapa pakar ekonometrika
sering menyertakan t-ratio dari koofisien taksiran sebagai pengganti kesalahan
standart.
5.10
Aplikasi (Penerapan)
Contoh 1:
Tentukan
hasil-hasil regresi dari data 20 pasang pengamatan atas X dan Y.
∑Xi
= 228, ∑Yi= 3121, ∑XiYi=38927, ∑X
= 3204
= 3204
Jawaban :
i.
Penaksiran
∑Xi= 228 ; n=20 ;
sehingga 
∑Yi = 3121 ; n=20 ;
sehingga 
Dari (5.5), 
= 156,05 – (5,54) (11,40) = 92,95
= 156,05 – (5,54) (11,40) = 92,95
Maka hasl taksiran regresi adalah :
92,95 = 5,54 Xi
(ii). Penaksiran Varian
Var () = 
) dan Var 
) = 
) = ) dan Var ) =
Oleh karena tidak diketahui, maka dapat disubsitusikan 
yang tidak bias bagi varian factor gangguan ke
dalam persamaan diatas sehingga :
tidak diketahui, maka dapat disubsitusikan yang tidak bias bagi varian factor gangguan ke
dalam persamaan diatas sehingga :
Var () = ) dan Var ) =
) = ) dan Var ) =
Dimana , =
=
= 
= 
Sehingga :
Var
=
70,82 [ 
=
4,38
=
70,82 [ =
4,38
dan
Var
(
(iii) Penetapan interval Keyakinan
Misalnya,
ingin ditetapkan suatu interval keyakinan untuk 
pada tingkat probabilitas p = 0,95.
Dengan kata lain, ingin diperolah nilai t yang membatasi 0,025 area di kedua
sisi distribusi. Dengan derajat bebas = 18m, lihat baris ke-18 dan kolom dengan
tanda ‘0,025’ pada table-t. Nilai oada koordinat adalah 2,101.
pada tingkat probabilitas p = 0,95.
Dengan kata lain, ingin diperolah nilai t yang membatasi 0,025 area di kedua
sisi distribusi. Dengan derajat bebas = 18m, lihat baris ke-18 dan kolom dengan
tanda ‘0,025’ pada table-t. Nilai oada koordinat adalah 2,101.
Oleh
karena itu , 95% interval keyakinan untuk adalah :
adalah :
92,95 – (2,101)(4,38) 
(2,101)(4,38)
(2,101)(4,38)
83,75 
α
α
Dan : 5,54 – (2,101)(0,34) β
5,54 +(2,101)(4,38)
β
5,54 +(2,101)(4,38)
4,38
β
β
(iv). Pengujian Hipotesis
Diketahui Ho : β
= 0
Ho ≠ 0
Diatas telah ditentukan daerah
penerimaan pada tingkat signifikansi 5% sebagai :
-
[SE(
) ≤ ≤
+ [SE()]
[SE() ≤ ≤
+ [SE()]
Atau :
-
≤ 
+
≤ +
= 
= 16,29 ;
(n=18) = 2,101
Oleh karena nilai 16,29 terletak diluar
daerah penerimaan , maka hipotesis yang menyatakan tidak ada hubungan antara X
dan Y, yakni Ho, ditolak.
Contoh :
Tabel berikut
menyajikan produk nasional bruto (X) dan permintaan makanan (Y) diukur dalam
satuan-satuan arbitrary. Data tersebut berasal dari sebuah Negara yang sedang
berkembang, yang meliputi periode 10 tahun. Taksir fungsi perminataan akan
makanan : Y = α+ βX + U
|
Tabel
5.1
|
|||||||||||
|
Data
dan Perhitungan untuk Penaksiran Fungsi Makanan : Y = α + βX + U
|
|||||||||||
|
n
|
Yi
|
Xi
|
Xi2
|
Xi.Yi
|
Yi=(Y1-Y1 ̅)
|
Xi=(X1-X ̅)
|
Xi.Yi
|
Xi2
|
Ŷ=(α ̂+ β ̂X1)
|
ei =( Y1-Ŷ)
|
ei2
|
|
1
|
6
|
50
|
2500
|
300
|
-2,8
|
-9,6
|
26,88
|
92,16
|
6,846
|
-0,846
|
0,715716
|
|
2
|
7
|
52
|
2704
|
364
|
-1,8
|
-7,6
|
13,68
|
57,76
|
7,2526
|
-0,2526
|
0,06380676
|
|
3
|
8
|
55
|
3025
|
440
|
-0,8
|
-4,6
|
3,68
|
21,16
|
7,8625
|
0,1375
|
0,01890625
|
|
4
|
10
|
59
|
3481
|
590
|
1,2
|
-0,6
|
-0,72
|
0,36
|
8,6757
|
1,3243
|
1,75377049
|
|
5
|
8
|
57
|
3249
|
456
|
-0,8
|
-2,6
|
2,08
|
6,76
|
8,2691
|
-0,2691
|
0,07241481
|
|
6
|
9
|
58
|
3364
|
522
|
0,2
|
-1,6
|
-0,32
|
2,56
|
8,4724
|
0,5276
|
0,27836176
|
|
7
|
10
|
62
|
3844
|
620
|
1,2
|
2,4
|
2,88
|
5,76
|
9,2856
|
0,7144
|
0,51036736
|
|
8
|
9
|
65
|
4225
|
585
|
0,2
|
5,4
|
1,08
|
29,16
|
9,8955
|
-0,8955
|
0,80192025
|
|
9
|
11
|
68
|
4624
|
748
|
2,2
|
8,4
|
18,48
|
70,56
|
10,5054
|
0,4946
|
0,24462916
|
|
10
|
10
|
70
|
4900
|
700
|
1,2
|
10,4
|
12,48
|
108,16
|
10,912
|
-0,912
|
0,831744
|
|
JUMLAH
|
88
|
596
|
35916
|
5325
|
-7,1054E-15
|
-1,42109E-14
|
80,2
|
394,4
|
87,9768
|
0,0232
|
5,29163684
|
|
RATA-RATA
|
8,8
|
59,6
|
3591,6
|
532,5
|
-7,1054E-16
|
-1,42109E-15
|
8,02
|
39,44
|
8,79768
|
0,00232
|
0,529163684
|
|
β
|
0,203347
|
||||||||||
|
α
|
-3,31947
|
||||||||||
Ringkasan hasil analisi regresinya
adalah :
= -3,32 + 0,2033 Xi = 0,76
SE (
t* -1,35 4,98
= 0,76 menunujukkan bahwa 76% variasi
total pada Y dapat dijelaskan oleh variasi X. pada tingkat signifikansi 5%
hanya 
yang berarti secara statistic, sedangkan
tidak signifikan.
Welcome to SHAZAM - Version 10.0 - APR+2008 SYSTEM=WIN-NT PAR= 22480 - 03/11/15 21:26:40
|_SAMPLE 1 10
|_READ Y X
2 VARIABLES AND 10
OBSERVATIONS STARTING AT OBS 1
|_*
|_*CREATING SOME VARIABLE
|_OLS Y X/MAX DN
REQUIRED MEMORY IS PAR= 1 CURRENT PAR= 22480
OLS ESTIMATION
10 OBSERVATIONS DEPENDENT
VARIABLE= Y
...NOTE..SAMPLE RANGE SET TO: 1,
10
R-SQUARE = 0.7550 R-SQUARE ADJUSTED = 0.7244
VARIANCE OF THE ESTIMATE-SIGMA**2 = 0.52916
STANDARD ERROR OF THE ESTIMATE-SIGMA = 0.72743
SUM OF SQUARED ERRORS-SSE= 5.2916
MEAN OF DEPENDENT VARIABLE = 8.8000
LOG OF THE LIKELIHOOD FUNCTION = -11.0070
MODEL SELECTION TESTS - SEE JUDGE ET AL.
(1985,P.242)
AKAIKE (1969) FINAL PREDICTION ERROR - FPE = 0.63499
(FPE IS ALSO KNOWN AS AMEMIYA PREDICTION CRITERION - PC)
AKAIKE (1973) INFORMATION CRITERION - LOG AIC = -0.23647
SCHWARZ (1978) CRITERION - LOG SC = -0.17595
MODEL SELECTION TESTS - SEE RAMANATHAN (1998,P.165)
CRAVEN-WAHBA (1979)
GENERALIZED CROSS VALIDATION - GCV = 0.82681
HANNAN AND QUINN (1979) CRITERION = 0.73871
RICE (1984) CRITERION = 0.88193
SHIBATA (1981) CRITERION = 0.74082
SCHWARZ (1978) CRITERION - SC = 0.83866
AKAIKE (1974) INFORMATION CRITERION - AIC = 0.78941
ANALYSIS OF VARIANCE -
FROM MEAN
SS DF MS F
REGRESSION 16.308 1. 16.308 30.820
ERROR 5.2916 10. 0.52916 P-VALUE
TOTAL 21.600 9. 2.4000 0.000
ANALYSIS OF VARIANCE -
FROM ZERO
SS DF MS F
REGRESSION 790.71 2. 395.35 747.138
ERROR 5.2916 10. 0.52916 P-VALUE
TOTAL
796.00 10. 79.600 0.000
ASYMPTOTIC
VARIABLE
ESTIMATED STANDARD T-RATIO PARTIAL STANDARDIZED ELASTICITY
NAME COEFFICIENT ERROR
-------- P-VALUE CORR. COEFFICIENT AT MEANS
X
0.20335 0.3663E-01 5.552
0.000 0.891 0.8689 1.3772
CONSTANT
-3.3195 2.195 -1.512
0.130-0.471 0.0000 -0.3772
VARIANCE-COVARIANCE MATRIX OF COEFFICIENTS
X
0.13417E-02
CONSTANT -0.79964E-01 4.8188
X CONSTANT
CORRELATION MATRIX OF COEFFICIENTS
X
1.0000
CONSTANT -0.99449 1.0000
X CONSTANT
OBS. OBSERVED PREDICTED
CALCULATED
NO. VALUE VALUE RESIDUAL
1 6.0000 6.8479 -0.84787 * I
2 7.0000 7.2546 -0.25456 * I
3 8.0000 7.8646 0.13540 I*
4 10.000 8.6780 1.3220 I *
5 8.0000 8.2713 -0.27130 * I
6 9.0000 8.4746 0.52535 I *
7 10.000 9.2880 0.71197 I *
8 9.0000 9.8981
-0.89807 * I
9 11.000 10.508 0.49189 I *
10 10.000 10.915 -0.91481 * I
DURBIN-WATSON = 2.1966 VON NEUMANN RATIO = 2.4406 RHO = -0.29136
RESIDUAL SUM =
0.44409E-14 RESIDUAL VARIANCE
= 0.52916
SUM OF ABSOLUTE ERRORS= 6.3732
R-SQUARE BETWEEN OBSERVED AND PREDICTED =
0.7550
RUNS TEST:
7 RUNS, 5 POS, 0 ZERO,
5 NEG NORMAL STATISTIC = 0.6708
COEFFICIENT OF SKEWNESS = 0.2471 WITH STANDARD DEVIATION OF 0.6870
COEFFICIENT OF EXCESS KURTOSIS = -0.9781 WITH STANDARD DEVIATION OF 1.3342
JARQUE-BERA NORMALITY TEST- CHI-SQUARE(2
DF)= 0.5753 P-VALUE= 0.750
GOODNESS OF FIT TEST FOR NORMALITY OF RESIDUALS - 6 GROUPS
OBSERVED
0.0 3.0 2.0
4.0 1.0 0.0
EXPECTED
0.2 1.4 3.4
3.4 1.4 0.2
CHI-SQUARE =
3.2183 WITH 2 DEGREES OF FREEDOM,
P-VALUE= 0.200
..COMPLETED..
No comments:
Post a Comment